integral of 1/(x(x^2-81)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{x ( x ^{2} - 81 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{1}{729} (- arcsec (\frac{1}{9} x) - \frac{9}{( x ^{2} - 81 ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ( x ^{2} - 81 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{729 tan ^{2} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{729} \cdot \int \frac{1}{tan ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{729} \cdot \int - 1 + csc^{2} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{729} (- \int 1 d u + \int csc^{2} (u) d u)

\int 1 d u = u

\int csc^{2} (u) d u = - cot (u)

= \frac{1}{729} (- u - cot (u))

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{9} x)

ein

= \frac{1}{729} (- arcsec (\frac{1}{9} x) - cot (arcsec (\frac{1}{9} x)))

Vereinfache

\frac{1}{729} (- arcsec (\frac{1}{9} x) - cot (arcsec (\frac{1}{9} x))) : \frac{1}{729} (- arcsec (\frac{1}{9} x) - \frac{9}{( x ^{2} - 81 ) ^{\frac{1}{2}}})

= \frac{1}{729} (- arcsec (\frac{1}{9} x) - \frac{9}{( x ^{2} - 81 ) ^{\frac{1}{2}}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{729} (- arcsec (\frac{1}{9} x) - \frac{9}{( x ^{2} - 81 ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

x \to \infty lim (f (x))

\frac{d}{d x} (3 x^{2} sin (x) + 3 x cos (x))

\frac{d}{d t} (a cos (3 t) + b sin (3 t))

\frac{\partial}{\partial a} (\frac{a}{sin ( θ )})

x \frac{d y}{d x} = y + x^{2} + y^{2}