integral of sqrt(x)(ln(x))^2

解

\int x (ln (x))^{2} d x

\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln^{2} (x) - \frac{4}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + C

解答ステップ

\int x (ln (x))^{2} d x

簡素化

= \int x ln^{2} (x) d x

部分積分を適用する

= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln^{2} (x) - \int \frac{4}{3} x^{\frac{1}{2}} ln (x) d x

\int \frac{4}{3} x^{\frac{1}{2}} ln (x) d x = \frac{4}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}})

= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln^{2} (x) - \frac{4}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}})

定数を解答に追加する

= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln^{2} (x) - \frac{4}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} ln (x) - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}}) + C