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integral from-1 to 1 of 1/((x^2+1)^2)

解

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

解

\frac{π + 2}{4}

+1

十進法表記

1.28539 \dots

解答ステップ

\int_{- 1}^{1} \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 1 + cos (2 u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 1 d u + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} cos (2 u) d u)

\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} 1 d u = \frac{π}{2}

\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} cos (2 u) d u = 1

= \frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 1)

簡素化

\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + 1) : \frac{π + 2}{4}

= \frac{π + 2}{4}

グラフ

人気の例

integral from 1 to 4 of (-3)/((2x+1)^2)

\int_{1}^{4} \frac{- 3}{( 2 x + 1 ) ^{2}} d x

integral from 0 to x of t^6sqrt(1+t^7)

\int_{0}^{x} t^{6} 1 + t^{7} d t

integral from 4 to 1 of 4x+3x^2-2x^3

\int_{4}^{1} 4 x + 3 x^{2} - 2 x^{3} d x

integral from-a to a of (sqrt(a^2-t^2))

\int_{- a}^{a} (a^{2} - t^{2}) d t

integral from 0 to 4 of (sqrt(2t+1))

\int_{0}^{4} (2 t + 1) d t