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integral of 3sin^3(2x)cos^3(2x)

Lösung

\int 3 sin^{3} (2 x) cos^{3} (2 x) d x

\frac{3}{2} (- \frac{1}{4} cos^{4} (2 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (2 x)) + C

Schritte zur Lösung

\int 3 sin^{3} (2 x) cos^{3} (2 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int sin^{3} (2 x) cos^{3} (2 x) d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sin^{3} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2}) : - v^{3} + v^{5}

= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int - v^{3} + v^{5} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} (- \int v^{3} d v + \int v^{5} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

= 3 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{6})

Ersetze zurück

= 3 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{6})

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{2} (- \frac{cos ^{4} ( 2 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 2 x )}{6}) : \frac{3}{2} (- \frac{1}{4} cos^{4} (2 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (2 x))

= \frac{3}{2} (- \frac{1}{4} cos^{4} (2 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (2 x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} (- \frac{1}{4} cos^{4} (2 x) + \frac{1}{6} cos^{6} (2 x)) + C

\int (2 + y^{3})^{2} d y

\int 3 x - 3 x^{5} d x

\int sin (x^{2} + 3) - x^{3} + 4 x d x

\int (\frac{1 + e ^{x}}{1 - e ^{x}}) d x

\int \frac{( 6 + sin ( x ) )}{cos ( x )} d x