integral of sin(2θ)sin(4θ)

解

\int sin (2 θ) sin (4 θ) d θ

\frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{6} sin (6 θ)) + C

解答ステップ

\int sin (2 θ) sin (4 θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} (- cos (6 θ) + cos (- 2 θ)) d θ

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (6 θ) + cos (- 2 θ) d θ

簡素化

- cos (6 θ) + cos (- 2 θ) : cos (2 θ) - cos (6 θ)

= \frac{1}{2} \cdot \int cos (2 θ) - cos (6 θ) d θ

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int cos (2 θ) d θ - \int cos (6 θ) d θ)

\int cos (2 θ) d θ = \frac{1}{2} sin (2 θ)

\int cos (6 θ) d θ = \frac{1}{6} sin (6 θ)

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{6} sin (6 θ))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (\frac{1}{2} sin (2 θ) - \frac{1}{6} sin (6 θ)) + C