интеграл от cos(x)sqrt(4+sin^2(x))

Решение

\int cos (x) 4 + sin^{2} (x) d x

4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x))) + C

Шаги решения

\int cos (x) 4 + sin^{2} (x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int cos (x) - cos^{2} (x) + 5 d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int u^{2} + 4 d u

Примените тригонометрическую подстановку

= \int 4 sec^{3} (v) d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int sec^{3} (v) d v

Применить сокращение интеграла

= 4 (\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 4 (\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Делаем обратную замену

= 4 (\frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2} sin (x))) + sec (arctan (\frac{1}{2} sin (x))))

Упростите

4 (\frac{sec ^{2} ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) ) sin ( arctan ( \frac{1}{2} sin ( x ) ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{2} sin (x))) + sec (arctan (\frac{1}{2} sin (x)))) : 4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x)))

= 4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x)))

Добавить константу к решению

= 4 (\frac{1}{8} sin (x) 4 + sin^{2} (x) + \frac{1}{2} ln (\frac{1}{2} sin (x) + 4 + sin^{2} (x))) + C