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integral of (2sec(x))/(2tan(x)+3sec(x))

Lösung

\int \frac{2 sec ( x )}{2 tan ( x ) + 3 sec ( x )} d x

\frac{4}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 2)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 sec ( x )}{2 tan ( x ) + 3 sec ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{sec ( x )}{2 tan ( x ) + 3 sec ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 sin ( x ) + 3} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{2}{4 u + 3 ( 1 + u ^{2} )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{4 u + 3 ( 1 + u ^{2} )} d u

Multipliziere aus

3 (1 + u^{2}) : 3 + 3 u^{2}

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{4 u + 3 + 3 u ^{2}} d u

Vervollständige das Quadrat

4 u + 3 + 3 u^{2} : 3 (u + \frac{2}{3})^{2} + \frac{5}{3}

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( u + \frac{2}{3} ) ^{2} + \frac{5}{3}} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{3}{9 v ^{2} + 5} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \int \frac{1}{9 v ^{2} + 5} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \int \frac{1}{3 5 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 5} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 5} arctan (w)

Ersetze zurück

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{2}{3}))

Vereinfache

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{2}{3})) : \frac{4}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 2))

= \frac{4}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 2))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{4}{5} arctan (\frac{1}{5} (3 tan (\frac{x}{2}) + 2)) + C

\int \frac{e ^{x} e ^{x} + 2}{e ^{x} + 4} d x

\int \frac{1}{( w ^{2} + 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d w

\int 4 x^{2} sin (x^{3}) d x

\int \frac{x ^{2} + 4}{x ^{3}} d x

\int \frac{1}{2} x e^{\frac{x}{2}} d x