integral of 3/(x^2-2x)

Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} - 2 x} d x

- 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x - 2 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{x ^{2} - 2 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - 2 x} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} - 2 x : (x - 1)^{2} - 1

= 3 \cdot \int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 3 \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 3 (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = x - 1

ein

= 3 (- (\frac{ln ∣ x - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x - 1 - 1 ∣}{2}))

Vereinfache

3 (- (\frac{ln ∣ x - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x - 1 - 1 ∣}{2})) : - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x - 2 ∣)

= - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x - 2 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 3 (\frac{1}{2} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x - 2 ∣) + C

\int 2 e^{x} + 1 d x

\int (tan^{2} (x) + cot^{2} (x)) d x

\int sin (\frac{3}{2}) θ cos (\frac{3}{2}) θ d θ

\int \frac{x ^{2} + 2}{x ( x + 2 ) ^{2}} d x

\int \frac{2}{( 3 x + 2 )} d x