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integral of x^3e^{-ax}

Lösung

\int x^{3} e^{- a x} d x

Lösung

\frac{1}{a ^{4}} (- a^{3} e^{- a x} x^{3} - 3 (a^{2} e^{- a x} x^{2} - 2 (- a e^{- a x} x - e^{- a x}))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{3} e^{- a x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{u} u ^{3}}{a ^{4}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{4}} \cdot \int e^{u} u^{3} d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{a ^{4}} (u^{3} e^{u} - \int 3 u^{2} e^{u} d u)

\int 3 u^{2} e^{u} d u = 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))

= \frac{1}{a ^{4}} (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})))

Setze in

u = - a x

ein

= \frac{1}{a ^{4}} ((- a x)^{3} e^{- a x} - 3 ((- a x)^{2} e^{- a x} - 2 (e^{- a x} (- a x) - e^{- a x})))

Vereinfache

\frac{1}{a ^{4}} ((- a x)^{3} e^{- a x} - 3 ((- a x)^{2} e^{- a x} - 2 (e^{- a x} (- a x) - e^{- a x}))) : \frac{1}{a ^{4}} (- a^{3} e^{- a x} x^{3} - 3 (a^{2} e^{- a x} x^{2} - 2 (- a e^{- a x} x - e^{- a x})))

= \frac{1}{a ^{4}} (- a^{3} e^{- a x} x^{3} - 3 (a^{2} e^{- a x} x^{2} - 2 (- a e^{- a x} x - e^{- a x})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{a ^{4}} (- a^{3} e^{- a x} x^{3} - 3 (a^{2} e^{- a x} x^{2} - 2 (- a e^{- a x} x - e^{- a x}))) + C

Graph

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