integral of (x^3-x^2-x)e^{2x}

解答

\int (x^{3} - x^{2} - x) e^{2 x} d x

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{5}{4} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{4} e^{2 x} x - \frac{3}{8} e^{2 x} + C

求解步骤

\int (x^{3} - x^{2} - x) e^{2 x} d x

乘开

(x^{3} - x^{2} - x) e^{2 x} : e^{2 x} x^{3} - e^{2 x} x^{2} - e^{2 x} x

= \int e^{2 x} x^{3} - e^{2 x} x^{2} - e^{2 x} x d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{2 x} x^{3} d x - \int e^{2 x} x^{2} d x - \int e^{2 x} x d x

\int e^{2 x} x^{3} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}))

\int e^{2 x} x^{2} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

\int e^{2 x} x d x = \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})) - (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})) - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})

化简

\frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})) - (\frac{1}{2} e^{2 x} x^{2} - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x})) - \frac{1}{4} (e^{2 x} \cdot 2 x - e^{2 x}) : \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{5}{4} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{4} e^{2 x} x - \frac{3}{8} e^{2 x}

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{5}{4} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{4} e^{2 x} x - \frac{3}{8} e^{2 x}

解答补常数

= \frac{1}{2} e^{2 x} x^{3} - \frac{5}{4} e^{2 x} x^{2} + \frac{3}{4} e^{2 x} x - \frac{3}{8} e^{2 x} + C

\int (e^{2 y} - 2 y^{3}) d y

\int + 10 t^{- 3} + 12 t^{- 9} + 4 t^{3} d t

\int sec (x) cot^{3} (x) d x

\int e^{- (t - x)} d x

\int \frac{- 2}{81 + 25 x ^{2}} d x