integral of 1/((a^2+z^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d z

\frac{z}{a ^{2} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d z

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{a ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{a ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{a} z)

ein

= \frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} z))

Vereinfache

\frac{1}{a ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{a} z)) : \frac{z}{a ^{2} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{z}{a ^{2} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{z}{a ^{2} ( a ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{5 x}{( 2 x + 1 ) ( x - 7 )} d x

\int \frac{3 e ^{x}}{4 - e ^{2 x}} d x

\int \frac{3 sec ^{2} ( x )}{9 tan ( x ) - 1} d x

\int \frac{x ^{2} - 6}{2 x} d x

\int \frac{1}{- t ^{2} + 2 t + 15} d t