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integral of 4/(2-e^x)

解答

\int \frac{4}{2 - e ^{x}} d x

解答

4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + C

求解步骤

\int \frac{4}{2 - e ^{x}} d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 - e ^{x}} d x

使用换元积分法

= 4 \cdot \int \frac{1}{u ( 2 - u )} d u

对

u (2 - u)

配方:

- (u - 1)^{2} + 1

= 4 \cdot \int \frac{1}{- ( u - 1 ) ^{2} + 1} d u

使用换元积分法

= 4 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 4 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

代回

= 4 (\frac{ln ∣ e ^{x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 - 1 ∣}{2})

化简

4 (\frac{ln ∣ e ^{x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 - 1 ∣}{2}) : 4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣)

= 4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣)

解答补常数

= 4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + C

作图

流行的例子

integral of ((a^2-a))/(sqrt(3-a^2))

\int \frac{( a ^{2} - a )}{3 - a ^{2}} d a

integral of arcsin((5z)/2)

\int arcsin (\frac{5 z}{2}) d z

integral of (sin(pix^2))/x

\int \frac{sin ( π x ^{2} )}{x} d x

integral of 1x^{-2}

\int 1 x^{- 2} d x

integral of 20x^2

\int 20 x^{2} d x