integral of (2x^2)/(a^2+x^2)

Lösung

\int \frac{2 x ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x

- 2 a arctan (\frac{x}{a}) + 2 x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 x ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{x ^{2}}{a ^{2} + x ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{a u ^{2}}{1 + u ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 a \cdot \int \frac{u ^{2}}{1 + u ^{2}} d u

\frac{u ^{2}}{1 + u ^{2}} = - \frac{1}{1 + u ^{2}} + 1

= 2 a \cdot \int - \frac{1}{1 + u ^{2}} + 1 d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 a (- \int \frac{1}{1 + u ^{2}} d u + \int 1 d u)

\int \frac{1}{1 + u ^{2}} d u = arctan (u)

\int 1 d u = u

= 2 a (- arctan (u) + u)

Setze in

u = \frac{x}{a}

ein

= 2 a (- arctan (\frac{x}{a}) + \frac{x}{a})

Vereinfache

2 a (- arctan (\frac{x}{a}) + \frac{x}{a}) : - 2 a arctan (\frac{x}{a}) + 2 x

= - 2 a arctan (\frac{x}{a}) + 2 x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 a arctan (\frac{x}{a}) + 2 x + C

\int (x^{- 3} - 6 x^{- 2} + 10) d x

\int \frac{x ^{2} + x - 2}{x - 1} d x

\int \frac{17}{x 1 + 2 x} d x

\int \frac{x ^{2} + 2 x + 7}{x ^{2} + 6 x + 5} d x

\int \frac{5}{16 x ( ln ( x ) ) ^{8}} d x