integral of x^5e^{-x^4}

解

\int x^{5} e^{- x^{4}} d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x^{4}} x^{2} + \frac{π}{4} erf (x^{2})) + C

解答ステップ

\int x^{5} e^{- x^{4}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{e ^{- u^{2}} u ^{2}}{2} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- u^{2}} u^{2} d u

簡素化

u^{2} : uu

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- u^{2}} uu d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- u^{2}} u - \int - \frac{1}{2} e^{- u^{2}} d u)

\int - \frac{1}{2} e^{- u^{2}} d u = - \frac{π}{4} erf (u)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- u^{2}} u - (- \frac{π}{4} erf (u)))

代用を戻す

u = x^{2}

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- (x^{2})^{2}} x^{2} - (- \frac{π}{4} erf (x^{2})))

簡素化

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- (x^{2})^{2}} x^{2} - (- \frac{π}{4} erf (x^{2}))) : \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x^{4}} x^{2} + \frac{π}{4} erf (x^{2}))

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x^{4}} x^{2} + \frac{π}{4} erf (x^{2}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} e^{- x^{4}} x^{2} + \frac{π}{4} erf (x^{2})) + C