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受欢迎的微积分 >

integral of x/(x^2+6x+4)

解答

\int \frac{x}{x ^{2} + 6 x + 4} d x

解答

\frac{3 + 5}{2 5} ln x + 3 + 5 + \frac{5 - 3}{2 5} ln x + 3 - 5 + C

求解步骤

\int \frac{x}{x ^{2} + 6 x + 4} d x

对

x^{2} + 6 x + 4

配方:

(x + 3)^{2} - 5

= \int \frac{x}{( x + 3 ) ^{2} - 5} d x

使用换元积分法

= \int \frac{u - 3}{u ^{2} - 5} d u

将

\frac{u - 3}{u ^{2} - 5}

用部份分式展开:

\frac{3 + 5}{2 5 ( u + 5 )} + \frac{5 - 3}{2 5 ( u - 5 )}

= \int \frac{3 + 5}{2 5 ( u + 5 )} + \frac{5 - 3}{2 5 ( u - 5 )} d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 + 5}{2 5 ( u + 5 )} d u + \int \frac{5 - 3}{2 5 ( u - 5 )} d u

\int \frac{3 + 5}{2 5 ( u + 5 )} d u = \frac{3 + 5}{2 5} ln u + 5

\int \frac{5 - 3}{2 5 ( u - 5 )} d u = \frac{5 - 3}{2 5} ln u - 5

= \frac{3 + 5}{2 5} ln u + 5 + \frac{5 - 3}{2 5} ln u - 5

u = x + 3

代回

= \frac{3 + 5}{2 5} ln x + 3 + 5 + \frac{5 - 3}{2 5} ln x + 3 - 5

解答补常数

= \frac{3 + 5}{2 5} ln x + 3 + 5 + \frac{5 - 3}{2 5} ln x + 3 - 5 + C

作图

流行的例子

integral of (x^2-x)e^{-x}

\int (x^{2} - x) e^{- x} d x

integral of 1/(sqrt(4-7x))

\int \frac{1}{4 - 7 x} d x

integral of 6t^2*\sqrt[3]{t}

\int 6 t^{2} \cdot 3 t d t

integral of 5xtan(x^2)

\int 5 x tan (x^{2}) d x

integral of 4x(ln(x^9))^2

\int 4 x (ln (x^{9}))^{2} d x