интеграл от (x^2-4)^{-3/2}

Решение

\int (x^{2} - 4)^{- \frac{3}{2}} d x

- \frac{x}{4 ( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Шаги решения

\int (x^{2} - 4)^{- \frac{3}{2}} d x

Примените правило возведения в степень:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int \frac{sec ( u )}{4 tan ^{2} ( u )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{sec ( u )}{tan ^{2} ( u )} d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{cos ( u )}{sin ^{2} ( u )} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Применить правило показателя степени

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{v})

Делаем обратную замену

= \frac{1}{4} (- \frac{1}{sin ( arcsec ( \frac{1}{2} x ) )})

Упростите

\frac{1}{4} (- \frac{1}{sin ( arcsec ( \frac{1}{2} x ) )}) : - \frac{x}{4 ( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{1}{2}}}

= - \frac{x}{4 ( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{1}{2}}}

Добавить константу к решению

= - \frac{x}{4 ( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{1}{2}}} + C