integral of 1/(sqrt(4x^2+4x+5))

Lösung

\int \frac{1}{4 x ^{2} + 4 x + 5} d x

\frac{1}{2} ln \frac{4 x ^{2} + 4 x + 5}{2} + x + \frac{1}{2} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{4 x ^{2} + 4 x + 5} d x

Vervollständige das Quadrat

4 x^{2} + 4 x + 5 : 4 (x + \frac{1}{2})^{2} + 4

= \int \frac{1}{4 ( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + 4} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 u ^{2} + 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = ln u^{2} + 1 + u

= \frac{1}{2} ln u^{2} + 1 + u

Setze in

u = x + \frac{1}{2}

ein

= \frac{1}{2} ln (x + \frac{1}{2})^{2} + 1 + x + \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{1}{2} ln (x + \frac{1}{2})^{2} + 1 + x + \frac{1}{2} : \frac{1}{2} ln \frac{4 x ^{2} + 4 x + 5}{2} + x + \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} ln \frac{4 x ^{2} + 4 x + 5}{2} + x + \frac{1}{2}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} ln \frac{4 x ^{2} + 4 x + 5}{2} + x + \frac{1}{2} + C

\int \frac{sinh ( 4 x )}{cosh ( 4 x )} d x

\int (\frac{- 3}{x}) d x

\int \frac{1}{x ^{- 9}} d x

\int x ln (x) d x

\int - \frac{2 y cos ( \frac{π y}{2} )}{π} d y