integral of e^{-st}(tcos(t))

Lösung

\int e^{- s t} (t cos (t)) d t

- e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t) + C

Schritte zur Lösung

\int e^{- s t} t cos (t) d t

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - \int - \frac{1}{s ^{2}} sin (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) d t

\int - \frac{1}{s ^{2}} sin (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) d t = - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

= \frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - (- e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t))

Vereinfache

\frac{1}{s ^{2}} cos (t) (- s e^{- s t} t - e^{- s t}) - (- e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) - e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)) : - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - e^{- s t} \frac{1}{s} t cos (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} t cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{1 + s ^{2}} t sin (t) - e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{2}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} cos (t) + e^{- s t} \frac{s}{( 1 + s ^{2} ) ^{2}} sin (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ^{2} ( 1 + s ^{2} )} cos (t) + e^{- s t} \frac{1}{s ( s ^{2} + 1 )} sin (t) + C

\int e^{- 2 t^{2}} d t

\int \frac{x ^{3}}{x ^{4} - 6 x ^{2} + 1} d x

\int 24 x^{3} + \frac{1}{x} d x

\int \frac{1}{1 + e ^{15 x}} d x

\int 6 x (ln (x^{5}))^{2} d x