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integral of 1/((5x^2+3)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( 5 x ^{2} + 3 ) ^{2}} d x

\frac{1}{6 15} (arctan (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 5 x ^{2} + 3 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{3}{5 ( 3 u ^{2} + 3 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{3}{5} \cdot \int \frac{1}{( 3 u ^{2} + 3 ) ^{2}} d u

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{5} \cdot \int \frac{1}{( 3 u ^{2} + 3 ) ^{2}} d u

Faktorisiere

\frac{1}{( 3 u ^{2} + 3 ) ^{2}}

= \frac{3}{5} \cdot \int \frac{1}{9 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{3} x)))

Vereinfache

\frac{3}{5} \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{3} x))) : \frac{1}{6 15} (arctan (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{3} x)))

= \frac{1}{6 15} (arctan (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6 15} (arctan (\frac{5}{3} x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{5}{3} x))) + C

\int \frac{s ^{2} - 4 s - 6}{s ^{4}} d s

\int \frac{1}{2} x e^{\frac{x}{4}} d x

\int (7^{x} + 1 sin (10 x) + 3 sec^{2} (x)) d x

\int \frac{x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x ^{2} + 1 )} d x

\int x^{2} a^{2} + x^{2} d x