интеграл от (cos^4(x))/(sin^8(x))

Решение

\int \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{8} ( x )} d x

- \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x) + C

Шаги решения

\int \frac{cos ^{4} ( x )}{sin ^{8} ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{cot ^{4} ( x )}{sin ^{4} ( x )} d x

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{1}{sin ( x )} = csc (x)

= \int cot^{4} (x) csc^{4} (x) d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int - u^{4} (u^{2} + 1) d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int u^{4} (u^{2} + 1) d u

Расширить

u^{4} (u^{2} + 1) : u^{6} + u^{4}

= - \int u^{6} + u^{4} d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int u^{6} d u + \int u^{4} d u)

\int u^{6} d u = \frac{u ^{7}}{7}

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

= - (\frac{u ^{7}}{7} + \frac{u ^{5}}{5})

Делаем обратную замену

u = cot (x)

= - (\frac{cot ^{7} ( x )}{7} + \frac{cot ^{5} ( x )}{5})

Упростите

- (\frac{cot ^{7} ( x )}{7} + \frac{cot ^{5} ( x )}{5}) : - \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x)

= - \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x)

Добавить константу к решению

= - \frac{1}{7} cot^{7} (x) - \frac{1}{5} cot^{5} (x) + C