integral de (cot(pix)+tan(pix))^2

Solução

\int (cot (π x) + tan (π x))^{2} d x

\frac{1}{π} (- cot (π x) + tan (π x)) + C

Passos da solução

\int (cot (π x) + tan (π x))^{2} d x

Aplicar integração por substituição

= \int (cot (u) + tan (u))^{2} \frac{1}{π} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot \int (cot (u) + tan (u))^{2} d u

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{π} \cdot \int \frac{v ^{2} + 1}{v ^{2}} d v

\frac{v ^{2} + 1}{v ^{2}} = \frac{1}{v ^{2}} + 1

= \frac{1}{π} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} + 1 d v

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{v ^{2}} = v^{- 2}

= \frac{1}{π} \cdot \int v^{- 2} + 1 d v

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{π} (\int v^{- 2} d v + \int 1 d v)

\int v^{- 2} d v = - \frac{1}{v}

\int 1 d v = v

= \frac{1}{π} (- \frac{1}{v} + v)

Substituir na equação

= \frac{1}{π} (- \frac{1}{tan ( π x )} + tan (π x))

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{1}{tan ( x )} = cot (x)

= \frac{1}{π} (- cot (π x) + tan (π x))

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{π} (- cot (π x) + tan (π x)) + C

\int (\frac{x ^{2}}{4} - \frac{x}{2})^{5} (x - 1) d x

\int \frac{1}{x ^{2} 1 - x} d x

\int - 2 cot^{3} (x) sec^{2} (x) d x

\int \frac{x ^{3} + 2}{4 - x ^{2}} d x

\int sin (2 x) 2 + sin^{2} (x) d x