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integral of sqrt(1+4x+x^2)

Lösung

\int 1 + 4 x + x^{2} d x

3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x + 2) + \frac{1}{6} (x + 2) x^{2} + 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x + 2)) + C

Schritte zur Lösung

\int 1 + 4 x + x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

1 + 4 x + x^{2} : (x + 2)^{2} - 3

= \int (x + 2)^{2} - 3 d x

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} - 3 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 3 tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 3 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 3 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= 3 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) tan (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))))

Vereinfache

3 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) tan (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (x + 2)))) : 3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x + 2) + \frac{1}{6} (x + 2) x^{2} + 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x + 2))

= 3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x + 2) + \frac{1}{6} (x + 2) x^{2} + 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x + 2))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 (- ln \frac{1}{3} (x^{2} + 4 x + 1) + \frac{1}{3} (x + 2) + \frac{1}{6} (x + 2) x^{2} + 4 x + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{3} + \frac{1}{3} (x + 2)) + C

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{3} \cdot x ^{2} + 2 x} d x

\int \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4 x + 8} d x

\int \frac{( x ^{2} + 3 x ) ( 5 x + 3 )}{x} d x

\int \frac{9}{36 - 81 x ^{2}} d x

\int (t^{5} + e^{3 t}) d t