integral of (e^{6x}-1)^3e^{6x}

解

\int (e^{6 x} - 1)^{3} e^{6 x} d x

\frac{1}{24} e^{24 x} - \frac{1}{6} e^{18 x} + \frac{1}{4} e^{12 x} - \frac{1}{6} e^{6 x} + C

解答ステップ

\int (e^{6 x} - 1)^{3} e^{6 x} d x

拡張

(e^{6 x} - 1)^{3} e^{6 x} : e^{24 x} - 3 e^{18 x} + 3 e^{12 x} - e^{6 x}

= \int e^{24 x} - 3 e^{18 x} + 3 e^{12 x} - e^{6 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{24 x} d x - \int 3 e^{18 x} d x + \int 3 e^{12 x} d x - \int e^{6 x} d x

\int e^{24 x} d x = \frac{1}{24} e^{24 x}

\int 3 e^{18 x} d x = \frac{1}{6} e^{18 x}

\int 3 e^{12 x} d x = \frac{1}{4} e^{12 x}

\int e^{6 x} d x = \frac{1}{6} e^{6 x}

= \frac{1}{24} e^{24 x} - \frac{1}{6} e^{18 x} + \frac{1}{4} e^{12 x} - \frac{1}{6} e^{6 x}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{24} e^{24 x} - \frac{1}{6} e^{18 x} + \frac{1}{4} e^{12 x} - \frac{1}{6} e^{6 x} + C