integral of (xe^x)/((x+1))

解

\int \frac{x e ^{x}}{( x + 1 )} d x

\frac{1}{e} (e^{x + 1} - Ei (x + 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{x e ^{x}}{x + 1} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{e ^{u - 1} ( u - 1 )}{u} d u

簡素化

e^{u - 1} : e^{u} e^{- 1}

= \int \frac{e ^{u} e ^{- 1} ( u - 1 )}{u} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- 1} \cdot \int \frac{e ^{u} ( u - 1 )}{u} d u

指数の規則を適用する:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{e} \cdot \int \frac{e ^{u} ( u - 1 )}{u} d u

拡張

\frac{e ^{u} ( u - 1 )}{u} : e^{u} - \frac{e ^{u}}{u}

= \frac{1}{e} \cdot \int e^{u} - \frac{e ^{u}}{u} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{e} (\int e^{u} d u - \int \frac{e ^{u}}{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

\int \frac{e ^{u}}{u} d u = Ei (u)

= \frac{1}{e} (e^{u} - Ei (u))

代用を戻す

u = x + 1

= \frac{1}{e} (e^{x + 1} - Ei (x + 1))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{e} (e^{x + 1} - Ei (x + 1)) + C