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人気のある微分積分 >

integral of 1/((1-sin(x))^2)

解

\int \frac{1}{( 1 - sin ( x ) ) ^{2}} d x

解

2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) - 1} - \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 ) ^{2}} - \frac{2}{3 ( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 ) ^{3}}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{( 1 - sin ( x ) ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{( 1 + u ^{2} - 2 u ) ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u ^{2} + 1}{( 1 + u ^{2} - 2 u ) ^{2}} d u

以下の部分分数を得る:

\frac{u ^{2} + 1}{( 1 + u ^{2} - 2 u ) ^{2}} : \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}} + \frac{2}{( u - 1 ) ^{3}} + \frac{2}{( u - 1 ) ^{4}}

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}} + \frac{2}{( u - 1 ) ^{3}} + \frac{2}{( u - 1 ) ^{4}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}} d u + \int \frac{2}{( u - 1 ) ^{3}} d u + \int \frac{2}{( u - 1 ) ^{4}} d u)

\int \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}} d u = - \frac{1}{u - 1}

\int \frac{2}{( u - 1 ) ^{3}} d u = - \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}}

\int \frac{2}{( u - 1 ) ^{4}} d u = - \frac{2}{3 ( u - 1 ) ^{3}}

= 2 (- \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{( u - 1 ) ^{2}} - \frac{2}{3 ( u - 1 ) ^{3}})

代用を戻す

u = tan (\frac{x}{2})

= 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) - 1} - \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 ) ^{2}} - \frac{2}{3 ( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 ) ^{3}})

定数を解答に追加する

= 2 (- \frac{1}{tan ( \frac{x}{2} ) - 1} - \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 ) ^{2}} - \frac{2}{3 ( tan ( \frac{x}{2} ) - 1 ) ^{3}}) + C

グラフ

人気の例

integral of (1+e^{3x})^2e^{3x}

\int (1 + e^{3 x})^{2} e^{3 x} d x

integral of cos(n)pit

\int cos (n) π t d t

integral of (x^2-1)ln(x)

\int (x^{2} - 1) ln (x) d x

integral of (3x+11)/((x^2-x-6))

\int \frac{3 x + 11}{( x ^{2} - x - 6 )} d x

integral of sqrt(x)-1/(\sqrt[3]{x)}

\int x - \frac{1}{3 x} d x