integral of 1/((x^2+x+1))

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + x + 1 )} d x

\frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + x + 1} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + x + 1 : (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (v)

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2}))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3})

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + C

t a y l or (- 5 x + 24)^{\frac{3}{2}}

a re a f (x) = 4 - (x - 1)^{2}, (1, 3)

\int \frac{r ^{3}}{4 - r ^{2}} d r

\int \frac{x}{x ^{4} + 4} d x

\frac{d}{d x} (tan (\frac{x}{5}))