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integral of (x^2)/(x^2+6)

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 6} d x

Lösung

- 6 arctan (\frac{x}{6}) + x + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 6} d x

\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 6} = - \frac{6}{x ^{2} + 6} + 1

= \int - \frac{6}{x ^{2} + 6} + 1 d x

Wende integrale Substitution an

= \int 6 (- \frac{1}{u ^{2} + 1} + 1) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \int - \frac{1}{u ^{2} + 1} + 1 d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6 (- \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u + \int 1 d u)

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

\int 1 d u = u

= 6 (- arctan (u) + u)

Setze in

u = \frac{x}{6}

ein

= 6 (- arctan (\frac{x}{6}) + \frac{x}{6})

Vereinfache

6 (- arctan (\frac{x}{6}) + \frac{x}{6}) : - 6 arctan (\frac{x}{6}) + x

= - 6 arctan (\frac{x}{6}) + x

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 6 arctan (\frac{x}{6}) + x + C

Graph

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