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integral of (sqrt(4-x))/(sqrt(x))

Lösung

\int \frac{4 - x}{x} d x

4 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 - x}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int 2 4 - u^{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int 4 - u^{2} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int 4 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 4 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot 4 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Vereinfache

2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) : 4 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

= 4 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (arcsin (\frac{1}{2} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))) + C

\int \frac{2 - 3 x}{3 - 4 x ^{2}} d x

\int (7 cos (x) - sin (x)) d x

\int π t cos (\frac{π t}{2}) d t

\int (7 x + 2) d x

\int (π - x) cos (x) d x