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integral of (4x^2+8x)/(e^{x+1)}

Lösung

\int \frac{4 x ^{2} + 8 x}{e ^{x + 1}} d x

Lösung

\frac{4 ( - x ^{2} - 4 x - 4 )}{e ^{x + 1}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4 x ^{2} + 8 x}{e ^{x + 1}} d x

\frac{4 x ^{2} + 8 x}{e ^{x + 1}} = \frac{4}{e ^{1}} \frac{x ^{2} + 2 x}{e ^{x}}

= \int \frac{4}{e ^{1}} \cdot \frac{x ^{2} + 2 x}{e ^{x}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{4}{e ^{1}} \cdot \int \frac{x ^{2} + 2 x}{e ^{x}} d x

Vereinfache

= \frac{4}{e} \cdot \int \frac{x ^{2} + 2 x}{e ^{x}} d x

Multipliziere aus

\frac{x ^{2} + 2 x}{e ^{x}} : \frac{x ^{2}}{e ^{x}} + \frac{2 x}{e ^{x}}

= \frac{4}{e} \cdot \int \frac{x ^{2}}{e ^{x}} + \frac{2 x}{e ^{x}} d x

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{4}{e} (\int \frac{x ^{2}}{e ^{x}} d x + \int \frac{2 x}{e ^{x}} d x)

\int \frac{x ^{2}}{e ^{x}} d x = - \frac{x ^{2}}{e ^{x}} + 2 (- \frac{x}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{x}})

\int \frac{2 x}{e ^{x}} d x = 2 (- \frac{x}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{x}})

= \frac{4}{e} (- \frac{x ^{2}}{e ^{x}} + 2 (- \frac{x}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{x}}) + 2 (- \frac{x}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{x}}))

Vereinfache

\frac{4}{e} (- \frac{x ^{2}}{e ^{x}} + 2 (- \frac{x}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{x}}) + 2 (- \frac{x}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{x}})) : \frac{4 ( - x ^{2} - 4 x - 4 )}{e ^{x + 1}}

= \frac{4 ( - x ^{2} - 4 x - 4 )}{e ^{x + 1}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{4 ( - x ^{2} - 4 x - 4 )}{e ^{x + 1}} + C

Graph

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