integral of (x^3+2x^2+x+3)e^{3x}

解

\int (x^{3} + 2 x^{2} + x + 3) e^{3 x} d x

\frac{1}{3} e^{3 x} x^{3} + \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{26}{27} e^{3 x} + C

解答ステップ

\int (x^{3} + 2 x^{2} + x + 3) e^{3 x} d x

拡張

(x^{3} + 2 x^{2} + x + 3) e^{3 x} : e^{3 x} x^{3} + 2 e^{3 x} x^{2} + e^{3 x} x + 3 e^{3 x}

= \int e^{3 x} x^{3} + 2 e^{3 x} x^{2} + e^{3 x} x + 3 e^{3 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{3 x} x^{3} d x + \int 2 e^{3 x} x^{2} d x + \int e^{3 x} x d x + \int 3 e^{3 x} d x

\int e^{3 x} x^{3} d x = \frac{1}{27} e^{3 x} (9 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 2)

\int 2 e^{3 x} x^{2} d x = 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x}))

\int e^{3 x} x d x = \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x})

\int 3 e^{3 x} d x = e^{3 x}

= \frac{1}{27} e^{3 x} (9 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 2) + 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x})) + \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x}) + e^{3 x}

簡素化

\frac{1}{27} e^{3 x} (9 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x - 2) + 2 (\frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x})) + \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x}) + e^{3 x} : \frac{1}{3} e^{3 x} x^{3} + \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{26}{27} e^{3 x}

= \frac{1}{3} e^{3 x} x^{3} + \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{26}{27} e^{3 x}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} e^{3 x} x^{3} + \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{1}{9} e^{3 x} x + \frac{26}{27} e^{3 x} + C