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人気のある微分積分 >

integral of (2-x)/(x^2-3x-1)

解

\int \frac{2 - x}{x ^{2} - 3 x - 1} d x

解

2 (- \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 12 x - 4 - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2 x - 3}{13} + 1 - ln \frac{2 x - 3}{13} - 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{2 - x}{x ^{2} - 3 x - 1} d x

平方完成する

x^{2} - 3 x - 1 : (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{13}{4}

= \int \frac{2 - x}{( x - \frac{3}{2} ) ^{2} - \frac{13}{4}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2 ( - 2 u + 1 )}{4 u ^{2} - 13} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{- 2 u + 1}{4 u ^{2} - 13} d u

拡張

\frac{- 2 u + 1}{4 u ^{2} - 13} : - \frac{2 u}{4 u ^{2} - 13} + \frac{1}{4 u ^{2} - 13}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int \frac{2 u}{4 u ^{2} - 13} d u + \int \frac{1}{4 u ^{2} - 13} d u)

\int \frac{2 u}{4 u ^{2} - 13} d u = \frac{1}{4} ln 4 u^{2} - 13

\int \frac{1}{4 u ^{2} - 13} d u = - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2}{13} u + 1 - ln \frac{2}{13} u - 1)

= 2 (- \frac{1}{4} ln 4 u^{2} - 13 - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2}{13} u + 1 - ln \frac{2}{13} u - 1))

代用を戻す

u = x - \frac{3}{2}

= 2 (- \frac{1}{4} ln 4 (x - \frac{3}{2})^{2} - 13 - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2}{13} (x - \frac{3}{2}) + 1 - ln \frac{2}{13} (x - \frac{3}{2}) - 1))

簡素化

2 (- \frac{1}{4} ln 4 (x - \frac{3}{2})^{2} - 13 - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2}{13} (x - \frac{3}{2}) + 1 - ln \frac{2}{13} (x - \frac{3}{2}) - 1)) : 2 (- \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 12 x - 4 - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2 x - 3}{13} + 1 - ln \frac{2 x - 3}{13} - 1))

= 2 (- \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 12 x - 4 - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2 x - 3}{13} + 1 - ln \frac{2 x - 3}{13} - 1))

定数を解答に追加する

= 2 (- \frac{1}{4} ln 4 x^{2} - 12 x - 4 - \frac{1}{4 13} (ln \frac{2 x - 3}{13} + 1 - ln \frac{2 x - 3}{13} - 1)) + C

グラフ

人気の例

integral of 1/(sqrt(x+6))

\int \frac{1}{x + 6} d x

integral of 3(3x+1)^5

\int 3 (3 x + 1)^{5} d x

integral of 6x^2+4x

\int 6 x^{2} + 4 x d x

integral of 1/(-1-x^2)

\int \frac{1}{- 1 - x ^{2}} d x

integral of (15^x+30^x)/(5^x)

\int \frac{1 5 ^{x} + 3 0 ^{x}}{5 ^{x}} d x