integral of 1/(e^{-x)-1}

Lösung

\int \frac{1}{e ^{- x} - 1} d x

- x - ln e^{- x} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{e ^{- x} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ( u - 1 )} : - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1}

= - \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u - 1 ∣)

Setze in

u = e^{- x}

ein

= - (- ln e^{- x} + ln e^{- x} - 1)

Vereinfache

- (- ln e^{- x} + ln e^{- x} - 1) : - x - ln e^{- x} - 1

= - x - ln e^{- x} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - x - ln e^{- x} - 1 + C

\int (x (x^{2} - 16)^{2} - \frac{1}{2 x + 5}) d x

\int \frac{9 x + 25}{x ^{2} + 10 x + 9} d x

\int \frac{1}{8 - x ^{2}} d x

\int \frac{1}{( x + 3 ) x - 2} d x

\int e^{- 3 x^{2} - 1} x d x