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integral of 1/(e^{-x)-1}

解答

\int \frac{1}{e ^{- x} - 1} d x

解答

- x - ln e^{- x} - 1 + C

求解步骤

\int \frac{1}{e ^{- x} - 1} d x

使用换元积分法

= \int - \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u ( u - 1 )} d u

将

\frac{1}{u ( u - 1 )}

用部份分式展开:

- \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1}

= - \int - \frac{1}{u} + \frac{1}{u - 1} d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{u - 1} d u)

\int \frac{1}{u} d u = ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u - 1} d u = ln ∣ u - 1 ∣

= - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u - 1 ∣)

u = e^{- x}

代回

= - (- ln e^{- x} + ln e^{- x} - 1)

化简

- (- ln e^{- x} + ln e^{- x} - 1) : - x - ln e^{- x} - 1

= - x - ln e^{- x} - 1

解答补常数

= - x - ln e^{- x} - 1 + C

作图

流行的例子

integral of (x(x^2-16)^2-1/(2x+5))

\int (x (x^{2} - 16)^{2} - \frac{1}{2 x + 5}) d x

integral of (9x+25)/(x^2+10x+9)

\int \frac{9 x + 25}{x ^{2} + 10 x + 9} d x

integral of 1/(8-x^2)

\int \frac{1}{8 - x ^{2}} d x

integral of 1/((x+3)sqrt(x-2))

\int \frac{1}{( x + 3 ) x - 2} d x

integral of e^{-3x^2-1}x

\int e^{- 3 x^{2} - 1} x d x