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受欢迎的微积分 >

integral of (3x^4y^2)/(sqrt(9y^2-4x^2))

解答

\int \frac{3 x ^{4} y ^{2}}{9 y ^{2} - 4 x ^{2}} d y

解答

\frac{x ^{4} y 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{6} + \frac{2 x ^{6}}{9} ln \frac{3 y + 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{2 ∣ x ∣} + C

求解步骤

\int \frac{3 x ^{4} y ^{2}}{9 y ^{2} - 4 x ^{2}} d y

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 x^{4} \cdot \int \frac{y ^{2}}{- 4 x ^{2} + 9 y ^{2}} d y

使用三角换元法

= 3 x^{4} \cdot \int \frac{4 x ^{2} sec ^{3} ( u )}{27} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 x^{4} \frac{4 x ^{2}}{27} \cdot \int sec^{3} (u) d u

使用降次积分法

= 3 x^{4} \frac{4 x ^{2}}{27} (\frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} \cdot \int sec (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 3 x^{4} \frac{4 x ^{2}}{27} (\frac{sec ^{2} ( u ) sin ( u )}{2} + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

u = arcsec (\frac{3}{2 x} y)

代回

= 3 x^{4} \frac{4 x ^{2}}{27} (\frac{sec ^{2} ( arcsec ( \frac{3}{2 x} y ) ) sin ( arcsec ( \frac{3}{2 x} y ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{3}{2 x} y)) + sec (arcsec (\frac{3}{2 x} y)))

化简

3 x^{4} \frac{4 x ^{2}}{27} (\frac{sec ^{2} ( arcsec ( \frac{3}{2 x} y ) ) sin ( arcsec ( \frac{3}{2 x} y ) )}{2} + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{3}{2 x} y)) + sec (arcsec (\frac{3}{2 x} y))) : \frac{x ^{4} y 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{6} + \frac{2 x ^{6}}{9} ln \frac{3 y + 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{2 ∣ x ∣}

= \frac{x ^{4} y 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{6} + \frac{2 x ^{6}}{9} ln \frac{3 y + 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{2 ∣ x ∣}

解答补常数

= \frac{x ^{4} y 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{6} + \frac{2 x ^{6}}{9} ln \frac{3 y + 9 y ^{2} - 4 x ^{2}}{2 ∣ x ∣} + C

作图

流行的例子

integral of 6/((x+5)^3)

\int \frac{6}{( x + 5 ) ^{3}} d x

integral of (6x+8)/((x+3)(x+5)(x-2))

\int \frac{6 x + 8}{( x + 3 ) ( x + 5 ) ( x - 2 )} d x

integral of (5-e^{2x})^2

\int (5 - e^{2 x})^{2} d x

integral of 1/(sqrt(4z+z^2))

\int \frac{1}{4 z + z ^{2}} d z

integral of 15xln(1+x)

\int 15 x ln (1 + x) d x