интеграл от (sec^2(x))/(sec^2(x)+8)

Решение

\int \frac{sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x ) + 8} d x

\frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3}) + C

Шаги решения

\int \frac{sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x ) + 8} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{1}{1 + 8 cos ^{2} ( x )} d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int \frac{1}{u ^{2} + 9} d u

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{3} arctan (v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3}) + C