integral of e^{3x}(e^{3x}+4)^{-2}

Lösung

\int e^{3 x} (e^{3 x} + 4)^{- 2} d x

- \frac{1}{3 ( e ^{3 x} + 4 )} + C

Schritte zur Lösung

\int e^{3 x} (e^{3 x} + 4)^{- 2} d x

Multipliziere aus

e^{3 x} (e^{3 x} + 4)^{- 2} : \frac{e ^{3 x}}{e ^{6 x} + 8 e ^{3 x} + 16}

= \int \frac{e ^{3 x}}{e ^{6 x} + 8 e ^{3 x} + 16} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{3 ( u ^{2} + 8 u + 16 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 8 u + 16} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{2} + 8 u + 16} : \frac{1}{( u + 4 ) ^{2}}

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{( u + 4 ) ^{2}} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2}} d v

Wende die Potenzregel an

= \frac{1}{3} (- \frac{1}{v})

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} (- \frac{1}{e ^{3 x} + 4})

Vereinfache

\frac{1}{3} (- \frac{1}{e ^{3 x} + 4}) : - \frac{1}{3 ( e ^{3 x} + 4 )}

= - \frac{1}{3 ( e ^{3 x} + 4 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3 ( e ^{3 x} + 4 )} + C

\int \frac{7 x + 1}{6 x ^{2} + x + 1} d x

\int (4 x^{2} + 1)^{\frac{3}{2}} d x

\int \frac{x ln ( 1 + x ^{2} )}{( 1 + x ^{2} )} d x

\int \frac{x}{x ^{2} - 2 a x + 2 a ^{2}} d x

\int \frac{x ^{3} - x ^{2} - 12 x}{( x - 4 ) ( x + 3 )} d x