интеграл (2tan(x))/((1+2tan^2(x)))

Решение

интеграл

\frac{2 tan ( x )}{( 1 + 2 tan ^{2} ( x ) )}

ln 1 + sin^{2} (x) + C

Шаги решения

\int \frac{2 tan ( x )}{1 + 2 tan ^{2} ( x )} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{tan ( x )}{1 + 2 tan ^{2} ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) + 2 sin ^{2} ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int \frac{sin ( 2 x )}{2 ( 1 + sin ^{2} ( x ) )} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sin ( 2 x )}{1 + sin ^{2} ( x )} d x

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln ∣ u ∣

Делаем обратную замену

u = 1 + sin^{2} (x)

= 2 \cdot \frac{1}{2} ln 1 + sin^{2} (x)

Упростите

2 \cdot \frac{1}{2} ln 1 + sin^{2} (x) : ln 1 + sin^{2} (x)

= ln 1 + sin^{2} (x)

Добавить константу к решению

= ln 1 + sin^{2} (x) + C