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受欢迎的微积分 >

积分 (x+1)/((x^2+4x+8))

解答

积分

\frac{x + 1}{( x ^{2} + 4 x + 8 )}

解答

\frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 8 - \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 2)) + C

求解步骤

\int \frac{x + 1}{x ^{2} + 4 x + 8} d x

对

x^{2} + 4 x + 8

配方:

(x + 2)^{2} + 4

= \int \frac{x + 1}{( x + 2 ) ^{2} + 4} d x

使用换元积分法

= \int \frac{u - 1}{u ^{2} + 4} d u

乘开

\frac{u - 1}{u ^{2} + 4} : \frac{u}{u ^{2} + 4} - \frac{1}{u ^{2} + 4}

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{u}{u ^{2} + 4} d u - \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

\int \frac{u}{u ^{2} + 4} d u = \frac{1}{2} ln u^{2} + 4

\int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u = \frac{1}{2} arctan (\frac{u}{2})

= \frac{1}{2} ln u^{2} + 4 - \frac{1}{2} arctan (\frac{u}{2})

u = x + 2

代回

= \frac{1}{2} ln (x + 2)^{2} + 4 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 2}{2})

化简

\frac{1}{2} ln (x + 2)^{2} + 4 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 2}{2}) : \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 8 - \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 2))

= \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 8 - \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 2))

解答补常数

= \frac{1}{2} ln x^{2} + 4 x + 8 - \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 2)) + C

作图

流行的例子

积分 u/((1+u))

in t e g r a l \frac{u}{( 1 + u )}

in t e g r a l 7^{2} x + 3

in t e g r a l 4 x - 1

积分 ((1+x))/(x^2)

in t e g r a l \frac{( 1 + x )}{x ^{2}}

积分 20(x-3)(x+2)^3

in t e g r a l 20 (x - 3) (x + 2)^{3}