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受欢迎的微积分 >

积分 1/((x^2+2x))

解答

积分

\frac{1}{( x ^{2} + 2 x )}

解答

- \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + C

求解步骤

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x} d x

对

x^{2} + 2 x

配方:

(x + 1)^{2} - 1

= \int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2} - 1} d x

使用换元积分法

= \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

因式分解

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= - (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2})

u = x + 1

代回

= - (\frac{ln ∣ x + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x + 1 - 1 ∣}{2})

化简

- (\frac{ln ∣ x + 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x + 1 - 1 ∣}{2}) : - \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣

= - \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣

解答补常数

= - \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + C

作图

流行的例子

积分 x/(1+cos(x))

in t e g r a l \frac{x}{1 + cos ( x )}

积分 1+cos^2(x)

in t e g r a l 1 + cos^{2} (x)

积分 f(x)=x^9

in t e g r a l f (x) = x^{9}

积分 f(x)=x^3

in t e g r a l f (x) = x^{3}

积分 1/((x^2+2x+5))

in t e g r a l \frac{1}{( x ^{2} + 2 x + 5 )}