integral from 0 to t of t^2e^{-5t}

解

\int_{0}^{t} t^{2} e^{- 5 t} d t

- \frac{1}{125} (25 e^{- 5 t} t^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 t} t - e^{- 5 t}) - 2)

解答ステップ

\int_{0}^{t} t^{2} e^{- 5 t} d t

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{- 5 t} - \frac{e ^{u} u ^{2}}{125} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{125} \cdot \int_{0}^{- 5 t} e^{u} u^{2} d u

部分積分を適用する

= - \frac{1}{125} [u^{2} e^{u} - \int 2 u e^{u} d u]_{0}^{- 5 t}

\int 2 u e^{u} d u = 2 (e^{u} u - e^{u})

= - \frac{1}{125} [u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u})]_{0}^{- 5 t}

限度を計算する:

25 e^{- 5 t} t^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 t} t - e^{- 5 t}) - 2

= - \frac{1}{125} (25 e^{- 5 t} t^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 t} t - e^{- 5 t}) - 2)