integral from 0 to 1 of 2xy^2sec^2(3xy)

解

\int_{0}^{1} 2 x y^{2} sec^{2} (3 x y) d x

\frac{2 y tan ( 3 y )}{3} + \frac{2 ln ∣ cos ( 3 y ) ∣}{9}

解答ステップ

\int_{0}^{1} 2 x y^{2} sec^{2} (3 x y) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 y^{2} \cdot \int_{0}^{1} sec^{2} (3 y x) x d x

部分積分を適用する

= 2 y^{2} [\frac{1}{3 y} x tan (3 y x) - \int \frac{1}{3 y} tan (3 y x) d x]_{0}^{1}

\int \frac{1}{3 y} tan (3 y x) d x = - \frac{1}{9 y ^{2}} ln ∣ cos (3 y x) ∣

= 2 y^{2} [\frac{1}{3 y} x tan (3 y x) - (- \frac{1}{9 y ^{2}} ln ∣ cos (3 y x) ∣)]_{0}^{1}

簡素化

= 2 y^{2} [\frac{1}{3 y} x tan (3 y x) + \frac{1}{9 y ^{2}} ln ∣ cos (3 y x) ∣]_{0}^{1}

限度を計算する:

\frac{1}{3 y} tan (3 y) + \frac{1}{9 y ^{2}} ln ∣ cos (3 y) ∣

= 2 y^{2} (\frac{1}{3 y} tan (3 y) + \frac{1}{9 y ^{2}} ln ∣ cos (3 y) ∣)

簡素化

= \frac{2 y tan ( 3 y )}{3} + \frac{2 ln ∣ cos ( 3 y ) ∣}{9}