integral from 0 to pi of t^2sin(nt)

解

\int_{0}^{π} t^{2} sin (n t) d t

\frac{2 ( - 1 ) ^{n} - π ^{2} ( - 1 ) ^{n} n ^{2} - 2}{n ^{3}}

解答ステップ

\int_{0}^{π} t^{2} sin (n t) d t

部分積分を適用する

= [\frac{1}{n} (- t^{2} cos (n t) - n \cdot \int - \frac{2}{n} t cos (n t) d t)]_{0}^{π}

\int - \frac{2}{n} t cos (n t) d t = - \frac{2}{n ^{3}} (n t sin (n t) + cos (n t))

= [\frac{1}{n} (- t^{2} cos (n t) - n (- \frac{2}{n ^{3}} (n t sin (n t) + cos (n t))))]_{0}^{π}

簡素化

[\frac{1}{n} (- t^{2} cos (n t) - n (- \frac{2}{n ^{3}} (n t sin (n t) + cos (n t))))]_{0}^{π} : [\frac{1}{n} (- t^{2} cos (n t) + \frac{2}{n ^{2}} (n t sin (n t) + cos (n t)))]_{0}^{π}

= [\frac{1}{n} (- t^{2} cos (n t) + \frac{2}{n ^{2}} (n t sin (n t) + cos (n t)))]_{0}^{π}

限度を計算する:

\frac{1}{n} ((- 1)^{n} \frac{2}{n ^{2}} - π^{2} (- 1)^{n}) - \frac{2}{n ^{3}}

= \frac{1}{n} ((- 1)^{n} \frac{2}{n ^{2}} - π^{2} (- 1)^{n}) - \frac{2}{n ^{3}}

簡素化

= \frac{2 ( - 1 ) ^{n} - π ^{2} ( - 1 ) ^{n} n ^{2} - 2}{n ^{3}}