интеграл с 0 до 2pi от 2sin(x)cos(x)

Решение

\int_{0}^{2 π} 2 sin (x) cos (x) d x

0

Шаги решения

\int_{0}^{2 π} 2 sin (x) cos (x) d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{2 π} sin (x) cos (x) d x

Перепишите используя тригонометрические тождества

= 2 \cdot \int_{0}^{2 π} \frac{sin ( 2 x )}{2} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 π} sin (2 x) d x

Применить подстановку интеграла

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{4 π} sin (u) \frac{1}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{4 π} sin (u) d u

Использовать общий интеграл:

\int sin (u) d u = - cos (u)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [- cos (u)]_{0}^{4 π}

Упростите

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [- cos (u)]_{0}^{4 π} : \frac{1}{2} [- cos (u)]_{0}^{4 π}

= \frac{1}{2} [- cos (u)]_{0}^{4 π}

Вычислить границы:

0

= \frac{1}{2} \cdot 0

После упрощения получаем

= 0