integral from 4 to e^x of (y^5sin(y))

解

\int_{4}^{e^{x}} (y^{5} sin (y)) d y

- e^{5 x} cos (e^{x}) + 5 e^{4 x} sin (e^{x}) + 20 e^{3 x} cos (e^{x}) - 60 e^{2 x} sin (e^{x}) - 120 e^{x} cos (e^{x}) + 120 sin (e^{x}) + 224 cos (4) - 440 sin (4)

解答ステップ

\int_{4}^{e^{x}} y^{5} sin (y) d y

部分積分を適用する

= [- y^{5} cos (y) - \int - 5 y^{4} cos (y) d y]_{4}^{e^{x}}

\int - 5 y^{4} cos (y) d y = - 5 (y^{4} sin (y) - 4 (- y^{3} cos (y) + 3 (y^{2} sin (y) - 2 (- y cos (y) + sin (y)))))

= [- y^{5} cos (y) - (- 5 (y^{4} sin (y) - 4 (- y^{3} cos (y) + 3 (y^{2} sin (y) - 2 (- y cos (y) + sin (y))))))]_{4}^{e^{x}}

簡素化

= [- y^{5} cos (y) + 5 (y^{4} sin (y) - 4 (- y^{3} cos (y) + 3 (y^{2} sin (y) - 2 (- y cos (y) + sin (y)))))]_{4}^{e^{x}}

限度を計算する:

- e^{5 x} cos (e^{x}) + 5 e^{4 x} sin (e^{x}) + 20 e^{3 x} cos (e^{x}) - 60 e^{2 x} sin (e^{x}) - 120 e^{x} cos (e^{x}) + 120 sin (e^{x}) + 224 cos (4) - 440 sin (4)

= - e^{5 x} cos (e^{x}) + 5 e^{4 x} sin (e^{x}) + 20 e^{3 x} cos (e^{x}) - 60 e^{2 x} sin (e^{x}) - 120 e^{x} cos (e^{x}) + 120 sin (e^{x}) + 224 cos (4) - 440 sin (4)