интеграл с 2 до 3 от 1/(x-sqrt(x+1))

Решение

\int_{2}^{3} \frac{1}{x - x + 1} d x

- ln (- 3 + 2) - \frac{1}{5} ln (\frac{3 15 + 5 3 - 4 5 - 10}{3 15 + 10 - 4 5 - 5 3})

десятичными цифрами

1.80934 \dots

Шаги решения

\int_{2}^{3} \frac{1}{x - x + 1} d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{3}^{2} \frac{2 u}{u ^{2} - 1 - u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{3}^{2} \frac{u}{u ^{2} - 1 - u} d u

Найдите множитель

u^{2} - 1 - u : - (- u^{2} + 1 + u)

= 2 \cdot \int_{3}^{2} \frac{u}{- ( - u ^{2} + 1 + u )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int_{3}^{2} \frac{u}{- u ^{2} + 1 + u} d u)

Заполните квадрат

- u^{2} + 1 + u : - (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{4}

= 2 (- \int_{3}^{2} \frac{u}{- ( u - \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{5}{4}} d u)

Применить подстановку интеграла

= 2 (- \int_{3 - \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{2 ( 2 v + 1 )}{- 4 v ^{2} + 5} d v)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- 2 \cdot \int_{3 - \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{2 v + 1}{- 4 v ^{2} + 5} d v)

Расширить

\frac{2 v + 1}{- 4 v ^{2} + 5} : \frac{2 v}{- 4 v ^{2} + 5} + \frac{1}{- 4 v ^{2} + 5}

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- 2 (\int_{3 - \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{2 v}{- 4 v ^{2} + 5} d v + \int_{3 - \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 4 v ^{2} + 5} d v))

\int_{3 - \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{2 v}{- 4 v ^{2} + 5} d v = \frac{1}{4} ln (- 3 + 2)

\int_{3 - \frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{- 4 v ^{2} + 5} d v = \frac{ln ( \frac{3 15 + 5 3 - 4 5 - 10}{3 15 + 10 - 4 5 - 5 3} )}{4 5}

= 2 - 2 \frac{1}{4} ln (- 3 + 2) + \frac{ln ( \frac{3 15 + 5 3 - 4 5 - 10}{3 15 + 10 - 4 5 - 5 3} )}{4 5}

Упростите

2 - 2 \frac{1}{4} ln (- 3 + 2) + \frac{ln ( \frac{3 15 + 5 3 - 4 5 - 10}{3 15 + 10 - 4 5 - 5 3} )}{4 5} : - ln (- 3 + 2) - \frac{1}{5} ln (\frac{3 15 + 5 3 - 4 5 - 10}{3 15 + 10 - 4 5 - 5 3})

= - ln (- 3 + 2) - \frac{1}{5} ln (\frac{3 15 + 5 3 - 4 5 - 10}{3 15 + 10 - 4 5 - 5 3})