integral from 0 to t of xe^{-2x}

解

\int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x

\frac{1}{4} (- 2 t e^{- 2 t} - e^{- 2 t} + 1)

解答ステップ

\int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{- 2 t} \frac{e ^{u} u}{4} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{- 2 t} e^{u} u d u

部分積分を適用する

= \frac{1}{4} [e^{u} u - \int e^{u} d u]_{0}^{- 2 t}

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{4} [e^{u} u - e^{u}]_{0}^{- 2 t}

限度を計算する:

- 2 t e^{- 2 t} - e^{- 2 t} + 1

= \frac{1}{4} (- 2 t e^{- 2 t} - e^{- 2 t} + 1)