integral from 0 to 1 of x/(1+xy)

解

\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x y} d y

ln ∣ x + 1 ∣

解答ステップ

\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x y} d y

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x y} d y

u置換積分法を適用する

= x \cdot \int_{1}^{1 + x} \frac{1}{xu} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x \frac{1}{x} \cdot \int_{1}^{1 + x} \frac{1}{u} d u

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{u} d u = ln (∣ u ∣)

= x \frac{1}{x} [ln ∣ u ∣]_{1}^{1 + x}

簡素化

x \frac{1}{x} [ln ∣ u ∣]_{1}^{1 + x} : [ln ∣ u ∣]_{1}^{1 + x}

= [ln ∣ u ∣]_{1}^{1 + x}

限度を計算する:

ln ∣ x + 1 ∣

= ln ∣ x + 1 ∣