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integral from 0 to pi of sqrt(2+2cos(θ))

Lösung

\int_{0}^{π} 2 + 2 cos (θ) d θ

4

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{π} 2 + 2 cos (θ) d θ

Faktorisiere

2 + 2 cos (θ) : 2 (cos (θ) + 1)

= \int_{0}^{π} 2 (cos (θ) + 1) d θ

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int_{0}^{π} 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) d θ

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int_{0}^{π} cos^{2} (\frac{θ}{2}) d θ

Wende Exponentenregel an:

a^{2} = ∣ a ∣

= 2 \cdot \int_{0}^{π} cos (\frac{θ}{2}) d θ

Entferne die Extremwerte

= 2 \cdot \int_{0}^{π} cos (\frac{θ}{2}) d θ

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= 2 \cdot 2 [sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Vereinfache

= 4 [sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}

Berechne die Grenzen:

1

= 4 \cdot 1

Vereinfache

= 4

\int_{0}^{2} 3^{5 x} d x

\int_{0}^{2} (5 - x^{2}) d x

\int_{0}^{3} x^{4} - 3 x^{2} + 4 x d x

\int_{0}^{1} e^{x^{2}} x d x

\int_{0}^{2} 2 x + 1 d x