integral from 0 to 1 of 1/(x^4-1)

解

\int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{4} - 1} d x

は発散する

解答ステップ

\int_{0}^{1} \frac{1}{x ^{4} - 1} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{1}{x ^{4} - 1} : - \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )} - \frac{1}{4 ( x + 1 )} + \frac{1}{4 ( x - 1 )}

= \int_{0}^{1} - \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )} - \frac{1}{4 ( x + 1 )} + \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int_{0}^{1} \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )} d x - \int_{0}^{1} \frac{1}{4 ( x + 1 )} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x

\int_{0}^{1} \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )} d x = \frac{π}{8}

\int_{0}^{1} \frac{1}{4 ( x + 1 )} d x = \frac{1}{4} ln (2)

\int_{0}^{1} \frac{1}{4 ( x - 1 )} d x =

は発散する

式の一部が発散する場合は, 式全体が発散する

= は発散する