integral of e^x(1+4e^x)^4

解

\int e^{x} (1 + 4 e^{x})^{4} d x

e^{x} + 8 e^{2 x} + 32 e^{3 x} + 64 e^{4 x} + \frac{256}{5} e^{5 x} + C

解答ステップ

\int e^{x} (1 + 4 e^{x})^{4} d x

拡張

e^{x} (1 + 4 e^{x})^{4} : e^{x} + 16 e^{2 x} + 96 e^{3 x} + 256 e^{4 x} + 256 e^{5 x}

= \int e^{x} + 16 e^{2 x} + 96 e^{3 x} + 256 e^{4 x} + 256 e^{5 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{x} d x + \int 16 e^{2 x} d x + \int 96 e^{3 x} d x + \int 256 e^{4 x} d x + \int 256 e^{5 x} d x

\int e^{x} d x = e^{x}

\int 16 e^{2 x} d x = 8 e^{2 x}

\int 96 e^{3 x} d x = 32 e^{3 x}

\int 256 e^{4 x} d x = 64 e^{4 x}

\int 256 e^{5 x} d x = \frac{256}{5} e^{5 x}

= e^{x} + 8 e^{2 x} + 32 e^{3 x} + 64 e^{4 x} + \frac{256}{5} e^{5 x}

定数を解答に追加する

= e^{x} + 8 e^{2 x} + 32 e^{3 x} + 64 e^{4 x} + \frac{256}{5} e^{5 x} + C