integral of e^{-inpix}

解

\int e^{- inπ x} d x

\frac{1}{πn} sin (πn x) + i \frac{1}{πn} cos (πn x) + C

解答ステップ

\int e^{- inπ x} d x

簡素化

e^{- inπ x} : cos (πn x) - i sin (πn x)

= \int cos (πn x) - i sin (πn x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int cos (πn x) d x - \int i sin (πn x) d x

\int cos (πn x) d x = \frac{1}{πn} sin (πn x)

\int i sin (πn x) d x = - i \frac{1}{πn} cos (πn x)

= \frac{1}{πn} sin (πn x) - (- i \frac{1}{πn} cos (πn x))

簡素化

\frac{1}{πn} sin (πn x) - (- i \frac{1}{πn} cos (πn x)) : \frac{1}{πn} sin (πn x) + i \frac{1}{πn} cos (πn x)

= \frac{1}{πn} sin (πn x) + i \frac{1}{πn} cos (πn x)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{πn} sin (πn x) + i \frac{1}{πn} cos (πn x) + C